Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \sqrt{x^{5}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$ comme $\frac{d}{d x} [4 (x^{2} \sqrt{x})]$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{5}$ comme ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{4} x}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [4 (x^{2} \sqrt{x})]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x^{2} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2 + \frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Étape 3.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Étape 10

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 11

Associez $4$ et $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Étape 12

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 13

Factorisez $2$ à partir de $20 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Étape 14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Étape 14.4

Divisez $10 x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$10 x^{\frac{3}{2}}$