Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x + 1}{x - 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x + 1}{x - 1} d x$

Étape 4

Divisez $x + 1$ par $x - 1$ .

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Étape 4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

Étape 4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$1$

Étape 4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$1$

Étape 4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$1$

Étape 4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$1$
					+	$2$

Étape 4.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 + \frac{2}{x - 1} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 8

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 8.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$x + 2 \ln (| u |) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$x + 2 \ln (| x - 1 |) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| x - 1 |) + C$