Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ et $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Étape 6.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

Étape 6.2.2.4

Pour écrire $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

Étape 6.2.2.5

Associez $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Étape 6.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Étape 6.2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.1.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

Étape 7.1.1.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

Étape 7.1.1.2

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

Étape 7.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Étape 7.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Étape 7.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

Étape 7.1.1.4

Réécrivez $e^{2} - 1$ en forme factorisée.

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Étape 7.1.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

Étape 7.1.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e$ et $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

Étape 7.1.2

$e$ est d’environ $2.71828182$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

Étape 7.1.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

Étape 7.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1

Développez $(e + 1) (e - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Étape 7.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Étape 7.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Étape 7.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.2.1.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $e$ .

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Étape 7.4.2.1.2

Réécrivez $- 1 e$ comme $- e$ .

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Étape 7.4.2.1.3

Multipliez $e$ par $1$ .

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Étape 7.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

Étape 7.4.2.2

Additionnez $- e$ et $e$ .

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

Étape 7.4.2.3

Additionnez $e e$ et $0$ .

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

Étape 7.4.3

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{e e + 1}{2}$

Étape 7.4.4

Multipliez $e e$ .

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Étape 7.4.4.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

Étape 7.4.4.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

Étape 7.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

Étape 7.4.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Forme décimale :

$4.19452804 \dots$

Étape 9