Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Étape 1

Placez le terme $\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\sqrt{x}}$ approche de $0$ .

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t \cdot 0$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{t}}$ par $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t \cdot 0$

Étape 3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{t}}$ par $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}} d t \cdot 0$

Étape 3.2.2

Élevez $\sqrt{t}$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}} d t \cdot 0$

Étape 3.2.3

Élevez $\sqrt{t}$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}} d t \cdot 0$

Étape 3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}} d t \cdot 0$

Étape 3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}} d t \cdot 0$

Étape 3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{t}}^{2}$ comme $t$ .

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Étape 3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t \cdot 0$

Étape 3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t \cdot 0$

Étape 3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0$

Étape 3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0$

Étape 3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{1}} d t \cdot 0$

Étape 3.2.6.5

Simplifiez

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t \cdot 0$

Étape 3.3

Multipliez $\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t$ par $0$ .

$0$