Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4) + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4) + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 x}{3} - 4)]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 x}{3} - 4)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{2 x}{3} - 4$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 x}{3} - 4$ .

$- 7 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3} - 4]) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- 7 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3} - 4]) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x}{3} - 4$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3} - 4]) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x}{3} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) (\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.4

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) (\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) (\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) (\frac{2}{3} \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.7

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) (\frac{2}{3} + 0)) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.8

Additionnez $\frac{2}{3}$ et $0$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) \frac{2}{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.9

Associez $\frac{2}{3}$ et $\sin (\frac{2 x}{3} - 4)$ .

$- 7 (- \frac{2 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.10

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$7 \frac{2 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.11

Associez $7$ et $\frac{2 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}$ .

$\frac{7 (2 \sin (\frac{2 x}{3} - 4))}{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.12

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}$ et $0$ .

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{14}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{14}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 x}{3} - 4)]$ .

$f'' (x) = \frac{14}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\sin (\frac{2 x}{3} - 4))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{2 x}{3} - 4$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 x}{3} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{14}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3} - 4))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \frac{14}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3} - 4))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x}{3} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{14}{3} \cdot (\cos (\frac{2 x}{3} - 4) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3} - 4))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Associez $\cos (\frac{2 x}{3} - 4)$ et $\frac{14}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{2 x}{3} - 4) \cdot 14}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3} - 4)$

Étape 2.3.2

Déplacez $14$ à gauche de $\cos (\frac{2 x}{3} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cdot \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3} - 4)$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x}{3} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.3.6

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.3.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot (\frac{2}{3} + 0)$

Étape 2.3.8

Associez les fractions.

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Étape 2.3.8.1

Additionnez $\frac{2}{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 2.3.8.2

Multipliez $\frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4) \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Étape 2.3.8.3

Multipliez.

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Étape 2.3.8.3.1

Multipliez $2$ par $14$ .

$f'' (x) = \frac{28 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3 \cdot 3}$

Étape 2.3.8.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{28 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{9}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4) = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4) = 0$ par $14$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4) = 0$ par $14$ .

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{14} = \frac{0}{14}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{14} = \frac{0}{14}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{2 x}{3} - 4)$ par $1$ .

$\sin (\frac{2 x}{3} - 4) = \frac{0}{14}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Divisez $0$ par $14$ .

$\sin (\frac{2 x}{3} - 4) = 0$

Étape 5.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{2 x}{3} - 4 = \arcsin (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{2 x}{3} - 4 = 0$

Étape 5.4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x}{3} = 4$

Étape 5.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 5.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Étape 5.6.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.6.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 5.6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 5.6.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 5.6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 5.6.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot 4$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot (2 (2))$

Étape 5.6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Étape 5.6.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 3 \cdot 2$

Étape 5.6.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = 6$

Étape 5.7

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{2 x}{3} - 4 = π - 0$

Étape 5.8

Résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$\frac{2 x}{3} - 4 = π$

Étape 5.8.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x}{3} = π + 4$

Étape 5.8.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (π + 4)$

Étape 5.8.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.4.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Étape 5.8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.8.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (π + 4)$

Étape 5.8.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (π + 4)$

Étape 5.8.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.8.4.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} (π + 4)$

Étape 5.8.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (π + 4)$

Étape 5.8.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2} (π + 4)$

Étape 5.8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.4.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2} (π + 4)$ .

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Étape 5.8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{3}{2} π + \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 5.8.4.2.1.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 5.8.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.8.4.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (2))$

Étape 5.8.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Étape 5.8.4.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3 π}{2} + 3 \cdot 2$

Étape 5.8.4.2.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 6$

Étape 5.9

La solution de l’équation est $\frac{2 x}{3} - 4 = 0$ .

$x = 6, \frac{3 π}{2} + 6$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{28 \cos (\frac{2 (6)}{3} - 4)}{9}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $3$ à partir de $2 (6)$ .

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 \cdot (2))}{3} - 4)}{9}$

Étape 7.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 \cdot (2))}{3 (1)} - 4)}{9}$

Étape 7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 \cdot (2))}{3 \cdot 1} - 4)}{9}$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{28 \cos (\frac{2 \cdot (2)}{1} - 4)}{9}$

Étape 7.1.2.4

Divisez $2 \cdot (2)$ par $1$ .

$\frac{28 \cos (2 \cdot (2) - 4)}{9}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{28 \cos (4 - 4)}{9}$

Étape 7.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{28 \cos (0)}{9}$

Étape 7.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{28 \cdot 1}{9}$

Étape 7.3

Multipliez $28$ par $1$ .

$\frac{28}{9}$

Étape 8

$x = 6$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 6$ est un minimum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $x = 6$ .

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = - 7 \cos (\frac{2 (6)}{3} - 4) + 3$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$f (6) = - 7 \cos (\frac{12}{3} - 4) + 3$

Étape 9.2.1.2

Divisez $12$ par $3$ .

$f (6) = - 7 \cos (4 - 4) + 3$

Étape 9.2.1.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (6) = - 7 \cos (0) + 3$

Étape 9.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (6) = - 7 \cdot 1 + 3$

Étape 9.2.1.5

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$f (6) = - 7 + 3$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 7$ et $3$ .

$f (6) = - 4$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2} + 6$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{28 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{2} + 6)}{3} - 4)}{9}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun à $\frac{3 π}{2} + 6$ et $3$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $3$ à partir de $2 (\frac{3 π}{2} + 6)$ .

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3} - 4)}{9}$

Étape 11.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3 (1)} - 4)}{9}$

Étape 11.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3 \cdot 1} - 4)}{9}$

Étape 11.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{28 \cos (\frac{2 (\frac{π}{2} + 2)}{1} - 4)}{9}$

Étape 11.1.2.4

Divisez $2 (\frac{π}{2} + 2)$ par $1$ .

$\frac{28 \cos (2 (\frac{π}{2} + 2) - 4)}{9}$

Étape 11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{28 \cos (2 \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 - 4)}{9}$

Étape 11.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{28 \cos (2 \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 - 4)}{9}$

Étape 11.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{28 \cos (π + 2 \cdot 2 - 4)}{9}$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{28 \cos (π + 4 - 4)}{9}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{28 \cos (π + 0)}{9}$

Étape 11.2.3

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{28 \cos (π)}{9}$

Étape 11.2.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{28 (- \cos (0))}{9}$

Étape 11.2.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{28 (- 1 \cdot 1)}{9}$

Étape 11.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{28 \cdot - 1}{9}$

Étape 11.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.1

Multipliez $28$ par $- 1$ .

$\frac{- 28}{9}$

Étape 11.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{28}{9}$

Étape 12

$x = \frac{3 π}{2} + 6$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{2} + 6$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{2} + 6$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2} + 6$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{2} + 6)}{3} - 4) + 3$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1.1

Annulez le facteur commun à $\frac{3 π}{2} + 6$ et $3$ .

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Étape 13.2.1.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $2 (\frac{3 π}{2} + 6)$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3} - 4) + 3$

Étape 13.2.1.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.1.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3 (1)} - 4) + 3$

Étape 13.2.1.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3 \cdot 1} - 4) + 3$

Étape 13.2.1.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (\frac{2 (\frac{π}{2} + 2)}{1} - 4) + 3$

Étape 13.2.1.1.1.2.4

Divisez $2 (\frac{π}{2} + 2)$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (2 (\frac{π}{2} + 2) - 4) + 3$

Étape 13.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (2 (\frac{π}{2}) + 2 \cdot 2 - 4) + 3$

Étape 13.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (2 (\frac{π}{2}) + 2 \cdot 2 - 4) + 3$

Étape 13.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (π + 2 \cdot 2 - 4) + 3$

Étape 13.2.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (π + 4 - 4) + 3$

Étape 13.2.1.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (π + 0) + 3$

Étape 13.2.1.3

Additionnez $π$ et $0$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (π) + 3$

Étape 13.2.1.4

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 (- \cos (0)) + 3$

Étape 13.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 (- 1 \cdot 1) + 3$

Étape 13.2.1.6

Multipliez $- 7 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 13.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cdot - 1 + 3$

Étape 13.2.1.6.2

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = 7 + 3$

Étape 13.2.2

Additionnez $7$ et $3$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = 10$

Étape 13.2.3

La réponse finale est $10$ .

$y = 10$

Étape 14

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4) + 3$ .

$(6, - 4)$ est un minimum local

$(\frac{3 π}{2} + 6, 10)$ est un maximum local

Étape 15