Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{x}}{1 + x + x^{3}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x + x^{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x + x^{3}$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{3}]}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{3}]}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{3}]}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{3}]}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + x + x^{3}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{3}]}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{3}]}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{3}]}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(1 + x + x^{3}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{3}]}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{3}]}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 8.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{3}]}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(1 + x + x^{3}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.3

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.4

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.1.4.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 14.3.1.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.4.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.5

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 14.3.1.5.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.5.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

Étape 14.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.6

Associez $x^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 x^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.9

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.1.9.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 x^{2 + \frac{1}{2}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.9.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.9.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.9.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.9.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.1.9.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 x^{\frac{4 + 1}{2}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.9.6.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.1.10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.2

Pour écrire $- x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.3

Associez $- x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{5}{2}}}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{5}{2}}}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.7

Soustrayez $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{5}{2}}}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.8.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 14.3.8.1.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x^{\frac{5}{2}}}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8.1.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{2}}}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8.1.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 + x^{\frac{4}{2}})}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8.2

Réécrivez $x^{\frac{4}{2}}$ comme ${(x^{\frac{2}{2}})}^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 + {(x^{\frac{2}{2}})}^{2})}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1^{2} + {(x^{\frac{2}{2}})}^{2})}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8.4

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et ${(x^{\frac{2}{2}})}^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} ({(x^{\frac{2}{2}})}^{2} - 1^{2})}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{\frac{2}{2}}$ et $b = 1$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{2}{2}} + 1) (x^{\frac{2}{2}} - 1))}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8.6

Simplifiez

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Étape 14.3.8.6.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} ((x^{1} + 1) (x^{\frac{2}{2}} - 1))}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8.6.2

Simplifiez

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x^{\frac{2}{2}} - 1))}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8.6.3

Réécrivez $x^{\frac{2}{2}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} ((x + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1))}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8.6.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} ((x + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}))}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.8.6.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{\frac{1}{2}}$ et $b = 1$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.9

Pour écrire $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.10

Associez $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}} (x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.12.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}} (x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

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Étape 14.3.12.1.1

Déplacez $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 3 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.1.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 3 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot 2 x^{\frac{4}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.1.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot 2 x^{\frac{4}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (((x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.1.4

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot 2 x^{\frac{4}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (((x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)) (x^{\frac{1}{2}} - 1))$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot 2 x^{\frac{4}{2}} + ((x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{\frac{4}{2}} + ((x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.3

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + ((x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.4

Développez $(x + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.12.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + (x (x^{\frac{1}{2}} + 1) + 1 (x^{\frac{1}{2}} + 1)) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + (x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x \cdot 1 + 1 (x^{\frac{1}{2}} + 1)) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + (x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.12.5.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.12.5.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 14.3.12.5.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + (x^{1} x^{\frac{1}{2}} + x \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + (x^{1 + \frac{1}{2}} + x \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.5.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + (x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + x \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + (x^{\frac{2 + 1}{2}} + x \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.5.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + (x^{\frac{3}{2}} + x \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + (x^{\frac{3}{2}} + x + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.5.3

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + (x^{\frac{3}{2}} + x + x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.5.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + (x^{\frac{3}{2}} + x + x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.6

Développez $(x^{\frac{3}{2}} + x + x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 + x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.12.7.1

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.12.7.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 + x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{\frac{3 + 1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 + x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{\frac{4}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 + x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.1.4

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 + x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x^{\frac{3}{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.3

Réécrivez $- 1 x^{\frac{3}{2}}$ comme $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.4

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.12.7.4.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 14.3.12.7.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.4.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + x \cdot - 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot x + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.6

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.7

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.12.7.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x + x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.7.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x + x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.7.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x + x^{1} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.8

Simplifiez $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x + x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x + x - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.10

Réécrivez $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ comme $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x + x - x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.11

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x + x - x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.7.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x + x - x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.8

Associez les termes opposés dans $x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x + x - x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 1$ .

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Étape 14.3.12.8.1

Additionnez $- x^{\frac{3}{2}}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} + 0 - x + x - x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.8.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x + x - x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.8.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} + 0 - x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.8.4

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.8.5

Additionnez $- x^{\frac{1}{2}}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} + 0 - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.8.6

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{2} + x^{2} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.12.9

Additionnez $- 6 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{2} - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.13

Pour écrire $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{2} - 1)}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{2} - 1)}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.14

Multipliez $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{2} - 1)}{2}$ par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{2} - 1) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{2} - 1) x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.16.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.16.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{2} - 1) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (- 5 x^{2} - 1) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} (- 5 x^{2} - 1) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} (- 5 x^{2} - 1) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} (- 5 x^{2} - 1) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.2

Simplifiez $x^{1} (- 5 x^{2} - 1)$ .

$\frac{\frac{x (- 5 x^{2} - 1) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x (- 5 x^{2}) + x \cdot - 1 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{- 5 x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{- 5 x \cdot x^{2} - 1 \cdot x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.16.6.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.16.6.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 5 (x^{2} x) - 1 \cdot x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.6.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 14.3.16.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- 5 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{- 5 x^{2 + 1} - 1 \cdot x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.6.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{- 5 x^{3} - 1 \cdot x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.16.6.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{\frac{- 5 x^{3} - x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.17

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{\frac{- (5 x^{3}) - x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.18

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{\frac{- (5 x^{3}) - (x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.19

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{3}) - (x)$ .

$\frac{\frac{- (5 x^{3} + x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.20

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{- (5 x^{3} + x) - 1 (- 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.21

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{3} + x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{- (5 x^{3} + x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.22

Réécrivez $- (5 x^{3} + x - 1)$ comme $- 1 (5 x^{3} + x - 1)$ .

$\frac{\frac{- 1 (5 x^{3} + x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.3.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{5 x^{3} + x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.4

Associez des termes.

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Étape 14.4.1

Réécrivez $\frac{- \frac{5 x^{3} + x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$ comme un produit.

$- \frac{5 x^{3} + x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$

Étape 14.4.2

Multipliez $\frac{1}{{(1 + x + x^{3})}^{2}}$ par $\frac{5 x^{3} + x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{5 x^{3} + x - 1}{{(1 + x + x^{3})}^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 14.4.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 + x + x^{3})}^{2}$ .

$- \frac{5 x^{3} + x - 1}{2 {(1 + x + x^{3})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{5 x^{3} + x - 1}{2 {(1 + x + x^{3})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{5 x^{3} + x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x + x^{3})}^{2}}$