Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Étape 6

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u$

Étape 7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (u)$

$- (\arcsin (u) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$- \arcsin (u) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$- \arcsin (\ln (x)) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$ .

$F (x) =$ $- \arcsin (\ln (x)) + C$