Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{x \cdot (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5}$ par $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{(7^{u_{1}} - 5) \cdot 2} d u_{1}$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $7^{u_{1}} - 5$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{2 (7^{u_{1}} - 5)} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1})$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Alors $d u_{2} = 7^{u_{1}} \ln (7) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{\ln (7)} d u_{2} = 7^{u_{1}} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}} - 5]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7^{u_{1}} - 5$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $7$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Étape 6.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + 0$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $7^{u_{1}} \ln (7)$ et $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7)$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (7)} d u_{2}$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (7)} d u_{2}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{\ln (7)}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{\ln (7)}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{\ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{\ln (7)}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{\ln (7) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9.2

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (7)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 12.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{u_{1}} - 5 |) + C$

Étape 12.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{x^{2}} - 5 |) + C$