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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 1.2.1
Évaluez la limite.
Étape 1.2.1.1
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 1.2.1.2
Placez la limite à l’intérieur du logarithme.
Étape 1.2.1.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.2.1.4
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 1.2.1.5
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.2.3
Simplifiez la réponse.
Étape 1.2.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.2.3.1.1
Multipliez par .
Étape 1.2.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.2.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.3.3
Le logarithme naturel de est .
Étape 1.2.3.4
Multipliez par .
Étape 1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 1.3.1
Évaluez la limite.
Étape 1.3.1.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.3.1.2
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.3.1.3
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 1.3.1.4
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.3.3
Simplifiez la réponse.
Étape 1.3.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.3.3.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.3.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.3.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.3.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 3
Étape 3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 3.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.4
Associez et .
Étape 3.5
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.7
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.8
Multipliez par .
Étape 3.9
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.10
Additionnez et .
Étape 3.11
Associez et .
Étape 3.12
Multipliez par .
Étape 3.13
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.14
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.15
Évaluez .
Étape 3.15.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.15.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.15.3
Multipliez par .
Étape 3.16
Soustrayez de .
Étape 4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 5
Étape 5.1
Multipliez par .
Étape 5.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 6
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 7
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 8
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 9
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 10
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 11
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 12
Placez le terme hors de la limite car il est constant par rapport à .
Étape 13
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 14
Étape 14.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 14.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 15
Étape 15.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 15.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 15.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 15.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 15.2.1
Réécrivez comme .
Étape 15.2.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 15.3
Simplifiez le dénominateur.
Étape 15.3.1
Multipliez par .
Étape 15.3.2
Soustrayez de .
Étape 15.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 15.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 15.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 15.5
Multipliez .
Étape 15.5.1
Multipliez par .
Étape 15.5.2
Multipliez par .