Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (3 x) + e^{2 x + 1} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sin (3 x) d x + \int e^{2 x + 1} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Alors $d u_{1} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Étape 3

Associez $\sin (u_{1})$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{2 x + 1} d x$

Étape 6

Laissez $u_{2} = 2 x + 1$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x + 1$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$