Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{3 x^{3} - 4 x - 2}{x^{3}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{3 x^{3} - 4 x - 2}{x^{3}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 4 x - 2) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{3} - 4 x - 2) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 4 x - 2) x^{- 3} d x$

Étape 4

Développez $(3 x^{3} - 4 x - 2) x^{- 3}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (3 x^{3} - 4 x) x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 3 x^{3} x^{- 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 x^{3 - 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Étape 4.4

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\int 3 x^{0} - 4 x \cdot x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Étape 4.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 3 \cdot 1 - 4 x \cdot x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Étape 4.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int 3 - 4 x \cdot x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Étape 4.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 3 - 4 (x^{1} x^{- 3}) - 2 x^{- 3} d x$

Étape 4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 - 4 x^{1 - 3} - 2 x^{- 3} d x$

Étape 4.9

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\int 3 - 4 x^{- 2} - 2 x^{- 3} d x$

Étape 4.10

Remettez dans l’ordre $3$ et $- 4 x^{- 2}$ .

$\int - 4 x^{- 2} + 3 - 2 x^{- 3} d x$

Étape 4.11

Déplacez $3$ .

$\int - 4 x^{- 2} - 2 x^{- 3} + 3 d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 4 x^{- 2} d x + \int - 2 x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Étape 6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 \int x^{- 2} d x + \int - 2 x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 2 x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Étape 8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 (- x^{- 1} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 3 d x$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 3 d x$

Étape 10.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 3 d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$- 4 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 x + C$

Étape 12

Simplifiez

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x + C$