Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 - 4 x^{2}$ . Alors $d u = - 8 x d x$ , donc $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 - 4 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$0 - 8 x$

Étape 2.1.4

Soustrayez $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Étape 2.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Étape 2.5.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Étape 2.5.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Étape 2.5.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Étape 2.5.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{4})$ comme $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Étape 2.5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Étape 2.5.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{8}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Étape 3.3

Déplacez $8$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$8 (- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$- 8 (\frac{1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $- 8$ .

$\frac{- 8}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $8$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.1.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 7.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 7.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 7.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 7.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $\frac{3}{4}$ et sur $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Étape 10.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Étape 10.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Étape 10.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Étape 10.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)$

Étape 10.1.2.4

Évaluez l’exposant.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Étape 10.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Étape 10.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- (3^{\frac{1}{2}} - 2)$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 3^{\frac{1}{2}} - - 2$

Étape 10.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Forme décimale :

$0.26794919 \dots$

Étape 12