Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2}$ , $[0, 2]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 2]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} d x)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 6.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Étape 6.2.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Étape 6.2.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{3} + 0)$

Étape 6.2.6

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{3})$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{8}{3}$

Étape 7.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (4)}{3}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{4}{3}$

Étape 9