Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{5 \sin (x)}$

Étape 1

Laissez $y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5 \sin (x)})$

Étape 2

Développez $\ln (x^{5 \sin (x)})$ en déplaçant $5 \sin (x)$ hors du logarithme.

$\ln (y) = 5 \sin (x) \ln (x)$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = 5 \sin (x) \ln (x)$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $5 \sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \sin (x) \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \sin (x) \ln (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.2.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.2.5

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.2.6

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Étape 3.2.7

Simplifiez

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Étape 3.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{\sin (x)}{x} + 5 (\ln (x) \cos (x))$

Étape 3.2.7.2

Associez $5$ et $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \sin (x)}{x} + 5 \ln (x) \cos (x)$

Étape 3.2.7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y'}{y} = 5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}$

Étape 4

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = (5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Multipliez $5 \cos (x) \ln (x)$ .

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Étape 5.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (x)$ et $5$ .

$y' = (5 \cdot \ln (x) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Étape 5.1.2

Simplifiez $5 \cdot \ln (x)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$y' = (\ln (x^{5}) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x)}{x} x^{5 \sin (x)}$

Étape 5.3

Associez $\frac{5 \sin (x)}{x}$ et $x^{5 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}}{x}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $x^{5 \sin (x)}$ et $x$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x$ à partir de $5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x^{1}}$

Étape 5.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Étape 5.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}}{1}$

Étape 5.4.2.5

Divisez $5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ par $1$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$

Étape 5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ .

$y' = x^{5 \sin (x)} \ln (x^{5}) \cos (x) + 5 x^{5 \sin (x) - 1} \sin (x)$