Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 2 \tan^{3} (2 x) - 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ .

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Étape 6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Étape 6.2.2

Placez ${(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Étape 6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \tan^{3} (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x)]$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\tan (2 x)$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (2 x)$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (3 \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 8

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 9.2

La dérivée de $\tan (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 10

Différenciez.

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Étape 10.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 10.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 10.4

Multipliez $12$ par $1$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 10.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 0)$

Étape 10.6

Simplifiez les termes.

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Étape 10.6.1

Additionnez $12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$ et $0$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Étape 10.6.2

Associez $12$ et $\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Étape 10.6.3

Associez $\tan^{2} (2 x)$ et $\frac{12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} \sec^{2} (2 x)$

Étape 10.6.4

Associez $\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ et $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12 \sec^{2} (2 x)}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.6.5

Déplacez $12$ à gauche de $\tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{12 \cdot \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.6.6

Factorisez $3$ à partir de $12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 ({(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{{(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)}{{(- 1 + 2 \tan^{3} (2 x))}^{\frac{2}{3}}}$