Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} y + x^{3} = - y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y + x^{3}) = \frac{d}{d x} (- y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} y + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.4

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 3 x^{2}$

Étape 2.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + x^{3} y' + 3 x^{2} y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 2 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + x^{3} y' + 3 x^{2} y = - 2 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $2 y y'$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + x^{3} y' + 3 x^{2} y + 2 y y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + 2 y y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $3 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} y' + 2 y y' = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $x^{3} y' + 2 y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $x^{3} y'$ .

$y' x^{3} + 2 y y' = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (x^{3}) + y' (2 y) = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{3}) + y' (2 y)$ .

$y' (x^{3} + 2 y) = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (x^{3} + 2 y) = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$ par $x^{3} + 2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (x^{3} + 2 y) = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$ par $x^{3} + 2 y$ .

$\frac{y' (x^{3} + 2 y)}{x^{3} + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{3} + 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 2 y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3} + 2 y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{3} + 2 y)}{x^{3} + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{3} + 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 2 y}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x^{3} + 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 2 y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 3 x^{2} y}{x^{3} + 2 y}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.2.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} - 3 x^{2} y$ .

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Étape 5.4.3.2.1.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1) - 3 x^{2} y}{x^{3} + 2 y}$

Étape 5.4.3.2.1.2

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1) + 3 x^{2} (- 1 y)}{x^{3} + 2 y}$

Étape 5.4.3.2.1.3

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{2} (- 1) + 3 x^{2} (- 1 y)$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1 - 1 y)}{x^{3} + 2 y}$

Étape 5.4.3.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1 - y)}{x^{3} + 2 y}$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.4.3.3.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1 (1) - y)}{x^{3} + 2 y}$

Étape 5.4.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1 (1) - (y))}{x^{3} + 2 y}$

Étape 5.4.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (y)$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1 (1 + y))}{x^{3} + 2 y}$

Étape 5.4.3.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{(3 x^{2}) (1 + y)}{x^{3} + 2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(3 x^{2}) (1 + y)}{x^{3} + 2 y}$