Calcul infinitésimal Exemples

$5 x^{2} - x^{3} - 2 y^{3} - y^{2} = 3 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} - x^{3} - 2 y^{3} - y^{2}) = \frac{d}{d x} (3 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} - x^{3} - 2 y^{3} - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 x - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$10 x - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$10 x - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$10 x - 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$10 x - 3 x^{2} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$10 x - 3 x^{2} - 2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$10 x - 3 x^{2} - 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$10 x - 3 x^{2} - 2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.4.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - (2 y y')$

Étape 2.5.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - 2 y y'$

Étape 2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - 2 y y' + 10 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - 2 y y' + 10 x = 3$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $3 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 6 y^{2} y' - 2 y y' + 10 x = 3 + 3 x^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $10 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 y^{2} y' - 2 y y' = 3 + 3 x^{2} - 10 x$

Étape 5.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 6 y^{2} y' - 2 y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 6 y^{2} y'$ .

$2 y y' (- 3 y) - 2 y y' = 3 + 3 x^{2} - 10 x$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (- 3 y) + 2 y y' \cdot - 1 = 3 + 3 x^{2} - 10 x$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (- 3 y) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (- 3 y - 1) = 3 + 3 x^{2} - 10 x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y y' (- 3 y - 1) = 3 + 3 x^{2} - 10 x$ par $2 y (- 3 y - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (- 3 y - 1) = 3 + 3 x^{2} - 10 x$ par $2 y (- 3 y - 1)$ .

$\frac{2 y y' (- 3 y - 1)}{2 y (- 3 y - 1)} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y' (- 3 y - 1)}{2 y (- 3 y - 1)} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (- 3 y - 1)}{y (- 3 y - 1)} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (- 3 y - 1)}{y (- 3 y - 1)} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 3 y - 1)}{- 3 y - 1} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $- 3 y - 1$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 3 y - 1)}{- 3 y - 1} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x$ .

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 y (- 3 y - 1)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (- 3 y - 1)$ .

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (y (- 3 y - 1))}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (y (- 3 y - 1))}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 5 x}{y (- 3 y - 1)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} - \frac{5 x}{y (- 3 y - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} - \frac{5 x}{y (- 3 y - 1)}$