Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{2 + \sqrt{x}})}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.4

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 1.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 1.5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 1.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 2.1.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.1.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 2.1.3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 2.1.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 2 + 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 2 + 1$

Étape 2.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$u_{lower} = 3$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 2 + 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{upper} = 2 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.5.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.5.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 2 + 2^{1}$

Étape 2.5.1.4

Évaluez l’exposant.

$u_{upper} = 2 + 2$

Étape 2.5.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{3}^{4} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{3}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{4})$

Étape 5

Associez $\frac{2}{3}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{3}^{4})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $4$ et sur $3$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.2.5

Multipliez $2$ par $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.2.6

Placez $3^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Étape 6.2.7

Multipliez $3^{\frac{3}{2}}$ par $3^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.7.1

Déplacez $3^{- 1}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Étape 6.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Étape 6.2.7.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Étape 6.2.7.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Étape 6.2.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Étape 6.2.7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.7.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Étape 6.2.7.6.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Étape 6.2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{16}{3}) + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2

Multipliez $2 (\frac{16}{3})$ .

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Étape 7.2.1

Associez $2$ et $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{32}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Forme décimale :

$3.73846343 \dots$

Étape 9