Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Étape 4

Laissez $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Alors $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , donc $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.1.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 4.1.4.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 4.1.4.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x} + e^{- x}$ .

$\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$

Étape 7

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$