Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} (k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$k (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$k (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$k (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Étape 2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$k (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Étape 2.6

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{k^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = k^{2}$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$ .

$- 2 k e^{- 2 x} - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$