Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 1 + 1$

Étape 2.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}}{2}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $1 + t^{2}$ et sur $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 2^{- 1}}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + \frac{1}{2}}{2}$

Étape 8.2.2

Pour écrire $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

Étape 8.2.3

Associez $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

Étape 8.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2 + 1}{2}}{2}$

Étape 8.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$

Étape 8.2.6

Réécrivez $\frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$ comme un produit.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.2.7

Multipliez $\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{4}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{4}$

Étape 9.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{4}$

Étape 9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

Étape 9.4

Réécrivez $- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ comme $- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

Étape 9.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

Étape 10

Évaluez la limite.

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Étape 10.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

Étape 10.2

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

Étape 10.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 10.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 10.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 10.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{1 + t^{2}}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 10.7

Évaluez la limite.

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Étape 10.7.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

Étape 10.7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.7.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 10.7.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

Étape 10.7.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 10.7.2.3

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 10.7.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Étape 10.7.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.25$