Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x \cdot 7^{x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = 7^{x}$ .

$x (\frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{\ln (7)}$ et $7^{x}$ .

$x \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ .

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{\ln (7)}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{\ln (7)}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (7)} \int_{0}^{1} 7^{x} d x)$

Étape 4

L’intégrale de $7^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ .

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (7)} \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$ et $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.2

Évaluez $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Évaluez l’exposant.

$\frac{1 \cdot 7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 + 0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $7$ et $0$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.3.7

Évaluez l’exposant.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.3.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7 - 1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.3.10

Soustrayez $1$ de $7$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Étape 5.2.3.11

Réécrivez $\frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$ comme un produit.

$\frac{7}{\ln (7)} - (\frac{6}{\ln (7)} \cdot \frac{1}{\ln (7)})$

Étape 5.2.3.12

Multipliez $\frac{6}{\ln (7)}$ par $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln (7) \ln (7)}$

Étape 5.2.3.13

Élevez $\ln (7)$ à la puissance $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln (7)}$

Étape 5.2.3.14

Élevez $\ln (7)$ à la puissance $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln^{1} (7)}$

Étape 5.2.3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{{\ln (7)}^{1 + 1}}$

Étape 5.2.3.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

Forme décimale :

$2.01273935 \dots$

Étape 7