Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \infty}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{- 4} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} x^{- 3}]_{t}^{5}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ sur $5$ et sur $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{3} \cdot 5^{- 3}) + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Étape 4.2.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{125} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Étape 4.2.3

Multipliez $\frac{1}{125}$ par $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{125 \cdot 3} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Étape 4.2.4

Multipliez $125$ par $3$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Étape 4.2.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{- 3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{t^{- 3}}{3}$

Étape 4.2.6

Placez $t^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3 t^{3}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite de $\frac{1}{375}$ qui est constante lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$- \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

Étape 5.1.3

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} lim_{t \to - \infty} \frac{1}{t^{3}}$

Étape 5.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{t^{3}}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} \cdot 0$

Étape 5.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$- \frac{1}{375} + 0$

Étape 5.3.2

Additionnez $- \frac{1}{375}$ et $0$ .

$- \frac{1}{375}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{375}$

Forme décimale :

$- 0.002\overline{6}$