Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{1}{6} x^{6} + 2 x^{5} - 5 x^{4}$

Étape 1

Écrivez $- \frac{1}{6} x^{6} + 2 x^{5} - 5 x^{4}$ comme une fonction.

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} + 2 x^{5} - 5 x^{4}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{6} x^{6} + 2 x^{5} - 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $- \frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{6} x^{6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$- \frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{6}) x^{5} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.4

Associez $- 6$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.5

Associez $\frac{- 6}{6}$ et $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $6$ .

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Étape 2.1.1.2.6.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.6.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.6.2.4

Divisez $- x^{5}$ par $1$ .

$- x^{5} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{5}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x^{5} + 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- x^{5} + 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$- x^{5} + 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 2.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{5} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- x^{5} + 10 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Étape 2.1.1.4.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$f' (x) = - x^{5} + 10 x^{4} - 20 x^{3}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{5} + 10 x^{4} - 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{4}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 x^{4} + 10 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 5 x^{4} + 10 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $4$ par $10$ .

$- 5 x^{4} + 40 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 2.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 40 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 40 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

Étape 2.1.2.4.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$f'' (x) = - 5 x^{4} + 40 x^{3} - 60 x^{2}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 x^{4} + 40 x^{3} - 60 x^{2}$ .

$- 5 x^{4} + 40 x^{3} - 60 x^{2}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 5 x^{4} + 40 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 5 x^{4} + 40 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{4} + 40 x^{3} - 60 x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} + 40 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $40 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (- 8 x) - 60 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 60 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (- 8 x) - 5 x^{2} \cdot 12 = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{2} (x^{2}) - 5 x^{2} (- 8 x)$ .

$- 5 x^{2} (x^{2} - 8 x) - 5 x^{2} \cdot 12 = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{2} (x^{2} - 8 x) - 5 x^{2} (12)$ .

$- 5 x^{2} (x^{2} - 8 x + 12) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 8 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 6, - 2$

Étape 2.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 5 x^{2} ((x - 6) (x - 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 5 x^{2} (x - 6) (x - 2) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.2.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.2.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 5 x^{2} (x - 6) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 6, 2$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = - 5 {(- 2)}^{4} + 40 {(- 2)}^{3} - 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 2) = - 5 \cdot 16 + 40 {(- 2)}^{3} - 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $16$ .

$f'' (- 2) = - 80 + 40 {(- 2)}^{3} - 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = - 80 + 40 \cdot - 8 - 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $40$ par $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 80 - 320 - 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = - 80 - 320 - 60 \cdot 4$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $- 60$ par $4$ .

$f'' (- 2) = - 80 - 320 - 240$

Étape 5.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $320$ de $- 80$ .

$f'' (- 2) = - 400 - 240$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $240$ de $- 400$ .

$f'' (- 2) = - 640$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 640$ .

$- 640$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = - 5 {(1)}^{4} + 40 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = - 5 \cdot 1 + 40 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f'' (1) = - 5 + 40 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = - 5 + 40 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $40$ par $1$ .

$f'' (1) = - 5 + 40 - 60 {(1)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = - 5 + 40 - 60 \cdot 1$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- 60$ par $1$ .

$f'' (1) = - 5 + 40 - 60$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 5$ et $40$ .

$f'' (1) = 35 - 60$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $60$ de $35$ .

$f'' (1) = - 25$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 25$ .

$- 25$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, 2)$ car $f'' (1)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, 6)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = - 5 {(4)}^{4} + 40 {(4)}^{3} - 60 {(4)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f'' (4) = - 5 \cdot 256 + 40 {(4)}^{3} - 60 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $256$ .

$f'' (4) = - 1280 + 40 {(4)}^{3} - 60 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = - 1280 + 40 \cdot 64 - 60 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $40$ par $64$ .

$f'' (4) = - 1280 + 2560 - 60 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = - 1280 + 2560 - 60 \cdot 16$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 60$ par $16$ .

$f'' (4) = - 1280 + 2560 - 960$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 1280$ et $2560$ .

$f'' (4) = 1280 - 960$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $960$ de $1280$ .

$f'' (4) = 320$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $320$ .

$320$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(2, 6)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(2, 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f'' (8) = - 5 {(8)}^{4} + 40 {(8)}^{3} - 60 {(8)}^{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$f'' (8) = - 5 \cdot 4096 + 40 {(8)}^{3} - 60 {(8)}^{2}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $4096$ .

$f'' (8) = - 20480 + 40 {(8)}^{3} - 60 {(8)}^{2}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f'' (8) = - 20480 + 40 \cdot 512 - 60 {(8)}^{2}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $40$ par $512$ .

$f'' (8) = - 20480 + 20480 - 60 {(8)}^{2}$

Étape 8.2.1.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f'' (8) = - 20480 + 20480 - 60 \cdot 64$

Étape 8.2.1.6

Multipliez $- 60$ par $64$ .

$f'' (8) = - 20480 + 20480 - 3840$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $- 20480$ et $20480$ .

$f'' (8) = 0 - 3840$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $3840$ de $0$ .

$f'' (8) = - 3840$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 3840$ .

$- 3840$

Étape 8.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(6, \infty)$ car $f'' (8)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le bas sur $(0, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(2, 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 10