Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x y} + \ln (x y) = 3$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (e^{x y} + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x y} + \ln (x y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x y}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x y}$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.4.3.2

Associez $\frac{x}{x y}$ et $y'$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.4.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.4.3.4

Associez $\frac{1}{x y}$ et $y$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Étape 2.4.3.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.4.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Étape 2.4.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Étape 2.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ .

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 1, y, x, 1$

Étape 5.1.2

Comme $1, 1, y, x, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $y^{1}, x^{1}$ .

Étape 5.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.1.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 5.1.6

Le facteur pour $y^{1}$ est $y$ lui-même.

$y^{1} = y$

$y$ se produit $1$ fois.

Étape 5.1.7

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 5.1.8

Le plus petit multiple commun de $y^{1}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y x$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ par $y x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ par $y x$ .

$x e^{x y} y' (y x) + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.2.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Déplacez $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y \cdot y e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.2.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $y x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Étape 5.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Étape 5.2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y = 0 (y x)$

Étape 5.2.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 (y x)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $0 (y x)$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Multipliez $y$ par $0$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 x$

Étape 5.2.3.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Soustrayez $y^{2} x e^{x y}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x + y = - y^{2} x e^{x y}$

Étape 5.3.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Étape 5.3.2

Factorisez $x y'$ à partir de $x^{2} y' y e^{x y} + y' x$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $x y'$ à partir de $x^{2} y' y e^{x y}$ .

$x y' (x y e^{x y}) + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $x y'$ à partir de $y' x$ .

$x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1 = - y^{2} x e^{x y} - y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ par $x (x y e^{x y} + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ par $x (x y e^{x y} + 1)$ .

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x y e^{x y} + 1$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.2

Pour écrire $- \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x y e^{x y} + 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.3.1

Multipliez $\frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{(x y e^{x y} + 1) x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x y e^{x y} + 1) x$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{x (x y e^{x y} + 1)} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y} x - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} e^{x y} x - y$ .

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Étape 5.3.3.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} e^{x y} x$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' = \frac{y (- x y e^{x y} - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.7

Annulez le facteur commun à $- x y e^{x y} - 1$ et $x y e^{x y} + 1$ .

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Étape 5.3.3.3.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.7.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1 (1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x y e^{x y}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.7.4

Réécrivez $- (x y e^{x y} + 1)$ comme $- 1 (x y e^{x y} + 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.7.5

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.7.6

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Étape 5.3.3.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.3.8.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Étape 5.3.3.3.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$