Calcul infinitésimal Exemples

$10 - \frac{1}{5} {(t - 6)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(t - 6)}^{2}$ comme $(t - 6) (t - 6)$ .

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} ((t - 6) (t - 6))]$

Étape 2

Développez $(t - 6) (t - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t (t - 6) - 6 (t - 6))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t \cdot t + t \cdot - 6 - 6 (t - 6))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t \cdot t + t \cdot - 6 - 6 t - 6 \cdot - 6)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t^{2} + t \cdot - 6 - 6 t - 6 \cdot - 6)]$

Étape 3.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $t$ .

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t^{2} - 6 \cdot t - 6 t - 6 \cdot - 6)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t^{2} - 6 t - 6 t + 36)]$

Étape 3.2

Soustrayez $6 t$ de $- 6 t$ .

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 - \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)]$ .

$\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)]$

Étape 4.2

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $10$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)]$ .

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Étape 5.1

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{5} \frac{d}{d t} [t^{2} - 12 t + 36]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d t} [t^{2} - 12 t + 36]$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 12 t + 36$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 12 t] + \frac{d}{d t} [36]$ .

$0 - \frac{1}{5} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 12 t] + \frac{d}{d t} [36])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t + \frac{d}{d t} [- 12 t] + \frac{d}{d t} [36])$

Étape 5.4

Comme $- 12$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 12 t$ par rapport à $t$ est $- 12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t - 12 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [36])$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [36])$

Étape 5.6

Comme $36$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $36$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t - 12 \cdot 1 + 0)$

Étape 5.7

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t - 12 + 0)$

Étape 5.8

Additionnez $2 t - 12$ et $0$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t - 12)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 - \frac{1}{5} (2 t) - \frac{1}{5} \cdot - 12$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 (\frac{1}{5}) t - \frac{1}{5} \cdot - 12$

Étape 6.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{5}$ .

$0 + \frac{- 2}{5} t - \frac{1}{5} \cdot - 12$

Étape 6.2.3

Associez $\frac{- 2}{5}$ et $t$ .

$0 + \frac{- 2 t}{5} - \frac{1}{5} \cdot - 12$

Étape 6.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{2 t}{5} - \frac{1}{5} \cdot - 12$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$0 - \frac{2 t}{5} + 12 (\frac{1}{5})$

Étape 6.2.6

Associez $12$ et $\frac{1}{5}$ .

$0 - \frac{2 t}{5} + \frac{12}{5}$

Étape 6.2.7

Soustrayez $- (- \frac{2 t}{5} + \frac{12}{5})$ de $0$ .

$- \frac{2 t}{5} + \frac{12}{5}$