Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Étape 4.2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Étape 4.2.3

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Étape 4.2.3.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Étape 4.2.3.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 4.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 4.2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Étape 4.2.3.5.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Étape 4.2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Réécrivez $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$ comme $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ .

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 7

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$