Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2} e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$4 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.1

Déplacez $x$ .

$4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{1} x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x^{2}}$ .

$4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x^{3} e^{x^{2}} + 8 (e^{x^{2}} (x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Étape 4.2.3

Additionnez $8 e^{x^{2}} x$ et $4 e^{x^{2}} x$ .

$8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}} x$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$

Étape 4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$ .

$8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$