Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{1}{4} x^{- 4} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{4} x^{- 4} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- \frac{1}{4} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$4 (\frac{1}{4}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 1.2.4

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 1.2.6

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 1.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 1.3

Comme $- \frac{1}{16}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{16}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{1}{4} (4 x^{3})$

Étape 1.4.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4}{4} x^{3}$

Étape 1.4.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4 x^{3}}{4}$

Étape 1.4.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4 x^{3}}{4}$

Étape 1.4.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + x^{3}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $\frac{1}{x^{5}}$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{5}} + x^{3}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 x^{2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$3 x^{2} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 x^{2} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

Étape 2.2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$3 x^{2} - x^{- 10} (5 x^{4})$

Étape 2.2.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 5 x^{- 10} x^{4}$

Étape 2.2.6

Multipliez $x^{- 10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.6.1

Déplacez $x^{4}$ .

$3 x^{2} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

Étape 2.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} - 5 x^{4 - 10}$

Étape 2.2.6.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$3 x^{2} - 5 x^{- 6}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 2.3.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{6}}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 5}{x^{6}}$

Étape 2.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 3 x^{2} - \frac{5}{x^{6}}$