Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ , $[0, 1]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[0, 1]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ .

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 1.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 1]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

Étape 7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

Étape 8

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 8.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 8.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Étape 8.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Étape 8.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Étape 8.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 8.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Étape 8.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

Étape 10

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $- 1$ et sur $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

Étape 11

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

Étape 12.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 2$ et $0$ est $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Étape 13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Étape 13.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Étape 14

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 14.1.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Étape 14.1.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Étape 14.2

Multipliez $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ par $1$ .

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

Étape 15

Simplifiez $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

Étape 16

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

Étape 17

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

Étape 18

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

Étape 19