Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x \cdot 2 + x \cdot x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\int \frac{2 \cdot x + x \cdot x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{1} x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{1} x^{1}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{2 x + x^{1 + 1}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 9.2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 9.3

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{(x + 1) (x + 1)} d x$

Étape 10

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

Étape 12

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 13

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 17

Simplifiez l’expression.

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Étape 17.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 17.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 17.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 17.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + x + 1} d x$

Étape 18

Additionnez $x$ et $x$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 19

Divisez $x^{2} + 2 x$ par $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Étape 19.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Étape 19.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Étape 19.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Étape 19.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 2 x + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

Étape 19.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
									-	$1$

Étape 19.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 20

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 21

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 22

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 23

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 23.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 23.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 23.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Étape 23.1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 23.1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 23.1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 23.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 23.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Étape 23.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 23.1.5

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 23.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 23.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 23.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.1.6.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 23.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 23.1.6.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 23.1.6.2

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 23.1.6.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Étape 23.1.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 23.1.6.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 23.1.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 23.1.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Étape 23.1.6.2.2.4

Divisez $B (x + 1)$ par $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Étape 23.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Étape 23.1.6.4

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A + B x + B$

Étape 23.1.7

Remettez dans l’ordre $A$ et $B x$ .

$1 = B x + A + B$

Étape 23.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 23.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = B$

Étape 23.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 23.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Étape 23.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 23.3.1

Réécrivez l’équation comme $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A + B$

Étape 23.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 23.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $1 = A + B$ par $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Étape 23.3.2.2

Simplifiez $1 = A + 0$ .

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Étape 23.3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 23.3.2.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Étape 23.3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 23.3.2.2.2.1

Additionnez $A$ et $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Étape 23.3.3

Réécrivez l’équation comme $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

Étape 23.3.4

Résolvez le système d’équations.

$A = 1 B = 0$

Étape 23.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = 1, B = 0$

Étape 23.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Étape 23.5

Simplifiez

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Étape 23.5.1

Divisez $0$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Étape 23.5.2

Supprimez le zéro de l’expression.

$x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 24

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 24.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 24.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 24.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 24.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 24.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 24.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 24.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C - \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 25

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 25.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$x + C - \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 25.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 25.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C - \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 25.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x + C - \int u^{- 2} d u$

Étape 26

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$x + C - (- u^{- 1} + C)$

Étape 27

Simplifiez

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Étape 27.1

Simplifiez

$x - - \frac{1}{u} + C$

Étape 27.2

Simplifiez

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Étape 27.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 1 \frac{1}{u} + C$

Étape 27.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $1$ .

$x + \frac{1}{u} + C$

Étape 28

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$x + \frac{1}{x + 1} + C$

Étape 29

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{x + 1} + C$