Calcul infinitésimal Exemples

$x + \sqrt{7 x - 3}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sqrt{7 x - 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 x - 3}$ comme ${(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 7 x - 3$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x - 3$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x - 3$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \cdot 1 + 0)$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Étape 2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Étape 2.12

Multipliez $7$ par $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (7 + 0)$

Étape 2.13

Additionnez $7$ et $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 7$

Étape 2.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 7$

Étape 2.15

Associez $\frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $7$ .

$1 + \frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 7}{2}$

Étape 2.16

Déplacez $7$ à gauche de ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{7 \cdot {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.17

Placez ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{7}{2 {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$