Calcul infinitésimal Exemples

$\int (5 e^{2 x} + \frac{1}{x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 5 e^{2 x} + \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $5$ .

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \ln (| x |) + C$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{5}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{5}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$