Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{5 + 2 x^{6}} (12 x^{5}) d x$

Étape 1

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Étape 1.1

Associez $12$ et $\frac{1}{5 + 2 x^{6}}$ .

$\int \frac{12}{5 + 2 x^{6}} \cdot x^{5} d x$

Étape 1.2

Associez $\frac{12}{5 + 2 x^{6}}$ et $x^{5}$ .

$\int \frac{12 x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Étape 2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Étape 3

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{6})}^{1}$ .

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 {(x^{6})}^{1}} d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = x^{6}$ . Alors $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ , donc $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = x^{6}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{5 + 2 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 5

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Étape 5.1

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$12 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{5 + 2 u_{1}}$ par $\frac{1}{6}$ .

$12 \int \frac{1}{(5 + 2 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Étape 5.3

Déplacez $6$ à gauche de $5 + 2 u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{6 (5 + 2 u_{1})} d u_{1}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1})$

Étape 7

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $12$ .

$\frac{12}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $6$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Étape 7.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Étape 8

Laissez $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $5 + 2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + 2 u_{1}]$

Étape 8.1.2

Différenciez.

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Étape 8.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + 2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 8.1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $5$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 8.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

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Étape 8.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 8.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2$

Étape 8.1.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 9

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 9.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 11

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 11.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 11.3

Multipliez $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 + 2 u_{1}$ .

$\ln (| 5 + 2 u_{1} |) + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{6}$ .

$\ln (| 5 + 2 x^{6} |) + C$