Calcul infinitésimal Exemples

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Étape 1

Écrivez $(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ comme une fonction.

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Étape 2

La fonction $F (t)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

Étape 4

Comme $d$ est constant par rapport à $t$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Étape 5.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Étape 5.5

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Étape 5.6

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

Étape 5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

Étape 5.8

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

Étape 5.9

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

Étape 5.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

Étape 5.11

Additionnez $3$ et $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

Étape 5.12

Déplacez $12 t^{- 8}$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

Étape 5.13

Remettez dans l’ordre $10 t^{- 2}$ et $4 t^{4}$ .

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{4}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Étape 9

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 2}$ par rapport à $t$ est $- t^{- 1}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

Étape 11

Comme $12$ est constant par rapport à $t$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 8}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

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Étape 13.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $t^{5}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Étape 13.1.2

Associez $t^{- 7}$ et $\frac{1}{7}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

Étape 13.1.3

Placez $t^{- 7}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

Étape 13.2

Simplifiez

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Étape 13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ .

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$