Calcul infinitésimal Exemples

$\int (3 - 2 x) \sqrt{9 x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = 3 - 2 x$ et $d v = \sqrt{9 x}$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} {(9 (x))}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $9 (x)$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (9^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} ({(3^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun.

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression.

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{3} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (27 x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.7

Associez $27$ et $\frac{2}{27}$ .

$(3 - 2 x) (\frac{27 \cdot 2}{27} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.8

Multipliez $27$ par $2$ .

$(3 - 2 x) (\frac{54}{27} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.9

Associez $\frac{54}{27}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 - 2 x) \frac{54 x^{\frac{3}{2}}}{27} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.10

Factorisez $27$ à partir de $54 x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.11

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Factorisez $27$ à partir de $27$ .

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27 (1)} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.11.2

Annulez le facteur commun.

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27 \cdot 1} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.11.3

Réécrivez l’expression.

$(3 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.11.4

Divisez $2 x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$(3 - 2 x) (2 x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 2.12

Déplacez $2$ à gauche de $3 - 2 x$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{27} \cdot - 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{27} \cdot - 2$ en dehors de l’intégrale.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{27} \cdot - 2 \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez $\frac{2}{27}$ et $- 2$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot - 2}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{- 4}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4.4

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(9 (x))}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $9 (x)$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 9^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Annulez le facteur commun.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4.8.2

Réécrivez l’expression.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{3} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4.9

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 1 (\frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4.11

Multipliez $\frac{4}{27}$ par $1$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , placez $27$ en dehors de l’intégrale.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{27} (27 \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Associez $27$ et $\frac{4}{27}$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.2

Multipliez $27$ par $4$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{108}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $108$ et $27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Factorisez $27$ à partir de $108$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Factorisez $27$ à partir de $27$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27 (1)} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27 \cdot 1} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{1} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Réécrivez $2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 8.2.2

Associez $4$ et $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 8.2.4

Pour écrire $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 8.2.5

Associez $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 8.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 8.2.7

Déplacez $5$ à gauche de $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 (6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} (5 (6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}) + C$