Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

Étape 1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

Étape 1.2.2

Réécrivez $- 4$ comme $2$ plus $- 6$

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

Étape 1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

Étape 1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

Étape 1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Étape 2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Étape 3

Complétez le carré.

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Étape 3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.1

Développez $(- x + 2) (x + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Étape 3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Étape 3.1.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $- 6 x$ et $2 x$ .

$- x^{2} - 4 x + 12$

Étape 3.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

Étape 3.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Étape 3.4.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 2$ comme $- - 2$ .

$d = - - 2$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$d = 2$

Étape 3.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 3.5.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 3.5.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 3.5.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Étape 3.5.2.1.1.6

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Étape 3.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 12 - - 4$

Étape 3.5.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = 12 + 4$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $12$ et $4$ .

$e = 16$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + 2)}^{2} + 16$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

Étape 4

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $- u^{2}$ et $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (\frac{u}{4})$

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Étape 7

Réécrivez $8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ comme $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

Étape 9.3.3

Réécrivez l’expression.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$