Calcul infinitésimal Exemples

$4 x (1 + \ln (x))$

Étape 1

Écrivez $4 x (1 + \ln (x))$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 4 x (1 + \ln (x)) d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 4 x \cdot 1 + 4 x \ln (x) d x$

Étape 4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\int 4 x + 4 x \ln (x) d x$

Étape 4.3

Simplifiez $4 \ln (x)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\int 4 x + x \ln (x^{4}) d x$

Étape 5

Réécrivez $4 x + x \ln (x^{4})$ comme $4 x + x (4 \ln (x))$ .

$\int 4 x + x (4 \ln (x)) d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x (4 \ln (x)) d x$

Étape 9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x (\ln (x)) d x$

Étape 10

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 11.3

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 11.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 11.5

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Étape 11.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 11.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Étape 11.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Étape 11.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Étape 11.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Étape 14.2

Simplifiez

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}) + C$

Étape 14.3

Simplifiez

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Étape 14.3.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + C$

Étape 14.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Étape 14.4

Simplifiez

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Étape 14.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 4 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Étape 14.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 x^{2} + 2 (2) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Étape 14.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Étape 14.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Étape 14.4.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{4}$ dans le numérateur.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Étape 14.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Étape 14.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) - x^{2} + C$

Étape 14.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 \ln (x) x^{2} - x^{2}$ .

$2 x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) - x^{2} + C$

Étape 14.4.5

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$ .

$F (x) =$ $x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$