Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2} + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Étape 1.1.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Étape 1.1.2.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Étape 1.1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Étape 1.1.3.1.4

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Étape 1.1.3.1.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{0 + 9} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Additionnez $0$ et $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x + 9} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}]$ .

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Étape 1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 9}$ comme ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 9$ .

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Étape 1.3.6.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.13

Multipliez $\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.14

Placez ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Étape 1.3.8

Additionnez $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} (2 x + 2) (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.5

Réécrivez ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x + 9}$ .

$lim_{x \to 0} (2 x + 2) (2 \sqrt{x + 9})$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} (2 x + 2) \sqrt{x + 9}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 lim_{x \to 0} 2 x + 2 \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Étape 2.6

Placez la limite sous le radical.

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 (2 \cdot 0 + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 (2 \cdot 0 + 2) \cdot \sqrt{0 + 9}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 (0 + 2) \cdot \sqrt{0 + 9}$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot \sqrt{0 + 9}$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot \sqrt{0 + 9}$

Étape 4.4

Additionnez $0$ et $9$ .

$4 \cdot \sqrt{9}$

Étape 4.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 4.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 \cdot 3$

Étape 4.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$12$