Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{- x - 2}$ comme ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = - x - 2$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x - 2$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.9

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.11.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.14

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.15

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.16

Associez $\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $- 1$ .

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.17

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.18

Réécrivez $- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ comme $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.19

Placez ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.21

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.22

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.23

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.24

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.24.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.24.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.24.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.25

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ et $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ comme ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ et $g (x) = - x - 2$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x - 2$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x - 2$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.7.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.8

Associez les fractions.

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Étape 2.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.8.2

Associez ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.3.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.8.3.2

Placez ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.8.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.8.3.4

Multipliez $\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.13

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + 0) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.14

Associez les fractions.

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Étape 2.14.1

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot - 1 + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.14.2

Associez $\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.14.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.14.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.14.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 2.16

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.16.1

Multipliez $\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ par $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 2.16.2

Additionnez $- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{- x - 2}$ comme ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = - x - 2$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x - 2$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.9

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.11

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.11.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.14

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.15

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.16

Associez $\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $- 1$ .

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.17

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.18

Réécrivez $- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ comme $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.19

Placez ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.21

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.22

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.23

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.24

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.24.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.24.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.24.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.25

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ et $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 5.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}$ comme ${(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x - 2)}^{2} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(- x - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x - 2$ .

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Étape 6.3.3.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

${(- (x) - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.3.3.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

${(- (x) - 1 \cdot 2)}^{2} = 0$

Étape 6.3.3.1.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

${(- (x + 2))}^{2} = 0$

Étape 6.3.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $- (x + 2)$ .

${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans ${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ par ${(- 1)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans ${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ par ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 6.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 6.3.3.2.2.1.2

Divisez ${(x + 2)}^{2}$ par $1$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{1}$

Étape 6.3.3.2.3.2

Divisez $0$ par $1$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 6.3.3.3

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.3.3.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2}{3 {(- (- 2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- \frac{2}{3 {(2 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Étape 9.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 9.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{5}}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

Étape 9.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Étape 9.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{2}{0}$

Étape 9.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée première $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(- (- 4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.2.2.1.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.2.2.2

La réponse finale est $- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- 2, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - \frac{1}{{(- (0) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(0 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.3.2.1.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.3.2.2

La réponse finale est $- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = - 2$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 11