Calcul infinitésimal Exemples

$\int \cos^{2} (\frac{x}{1}) - \sin (x) d x$

Étape 1

Divisez $x$ par $1$ .

$\int \cos^{2} (x) - \sin (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \cos^{2} (x) d x + \int - \sin (x) d x$

Étape 3

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (x)$ en $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x + \int - \sin (x) d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x + \int - \sin (x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x) + \int - \sin (x) d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x) + \int - \sin (x) d x$

Étape 7

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) + \int - \sin (x) d x$

Étape 8

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) + \int - \sin (x) d x$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int - \sin (x) d x$

Étape 10

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)) + \int - \sin (x) d x$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)) - \int \sin (x) d x$

Étape 12

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)) - (- \cos (x) + C)$

Étape 13

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Étape 13.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) - - \cos (x) + C$

Étape 13.2

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Étape 13.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + 1 \cos (x) + C$

Étape 13.2.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + \cos (x) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \cos (x) + C$

Étape 15

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + \cos (x) + C$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + \cos (x) + C$

Étape 15.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + \cos (x) + C$

Étape 15.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Étape 15.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \cos (x) + C$

Étape 15.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + \cos (x) + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + \cos (x) + C$