Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x}}$ comme ${(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $6 + 2 x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3 + 2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.2.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.2.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3 + 2 (x)$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.2.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.2.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}])$

Étape 4.7.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.7.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.7.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.7.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.7.3.3

Multipliez ${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 + x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.9

Différenciez.

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Étape 4.9.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.9.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 + x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.9.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.9.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.9.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.9.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.9.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10

Simplifiez

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Étape 4.10.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

${(\frac{3 + x}{2 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + x}{2 x^{2}}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.3

Appliquez la règle de produit à $2 x^{2}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(2 \cdot 3 + 2 x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6

Associez des termes.

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Étape 4.10.6.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.10.6.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.10.6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{1}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6.2

Simplifiez

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x^{1}) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{1 + 1} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6.8

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6.9

Multipliez $\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x}$ par $\frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}} (6 x + x^{2})}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2}}$

Étape 4.10.6.10

Placez ${(3 + x)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2} {(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.6.11

Multipliez ${(3 + x)}^{2}$ par ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.10.6.11.1

Déplacez ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x ({(3 + x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 + x)}^{2})}$

Étape 4.10.6.11.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Étape 4.10.6.11.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 4.10.6.11.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Étape 4.10.6.11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Étape 4.10.6.11.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.10.6.11.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Étape 4.10.6.11.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.10.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.10.8

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 6 x$ .

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Étape 4.10.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.10.8.2

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.10.8.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.10.9

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.10.10

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$