Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} {(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Déplacez l’exposant $\frac{1}{3}$ de ${(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 4} \frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Multipliez $3$ par $4$ .

${(\frac{12 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

${(\frac{12 - 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.1.3

Soustrayez $4$ de $12$ .

${(\frac{8}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

${(\frac{8}{16 + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

${(\frac{8}{16 + 12 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(\frac{8}{16 + 12 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.4

Additionnez $16$ et $12$ .

${(\frac{8}{28 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.5

Soustrayez $1$ de $28$ .

${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{27}$ .

$\frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.4.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{2}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 11.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 11.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3^{1}}$

Étape 11.5.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{6}$