Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 9} \frac{x + \sqrt{x} - 12}{x - 9}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{x} - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{9 + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{9 + \sqrt{9} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{9 + \sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.5.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{9 + 3 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{9 + 3 - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.5.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.5.3

Soustrayez $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 9} \frac{x + \sqrt{x} - 12}{x - 9} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sqrt{x} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sqrt{x} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sqrt{x} - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.6

Simplifiez

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Étape 1.3.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.6.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.6.2.2

Additionnez $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Étape 1.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Étape 1.6

Divisez $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 9} \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Étape 2.7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 1}{\sqrt{9}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} + 1}{\sqrt{9}}$

Étape 4.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 1}{\sqrt{9}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 + 1}{\sqrt{9}}$

Étape 4.1.4

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{9}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{7}{6}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7}{6}$

Forme décimale :

$1.1\overline{6}$