Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\infty} \frac{5}{x^{4}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{5}{x^{4}} d x$

Étape 2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{4}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{- 4} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{t})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{t})$

Étape 5.1.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{t})$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $- \frac{1}{3 x^{3}}$ sur $t$ et sur $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 t^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}})$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1})$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3})$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Évaluez la limite.

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Étape 6.1.1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3}$

Étape 6.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Étape 6.1.3

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Étape 6.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{t^{3}}$ approche de $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Étape 6.3

Évaluez la limite.

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Étape 6.3.1

Évaluez la limite de $\frac{1}{3}$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3})$

Étape 6.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3})$

Étape 6.3.2.1.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{3})$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3})$

Étape 6.3.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{3}$

Forme décimale :

$1.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{2}{3}$