Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 15$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{3} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Étape 2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Étape 3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Étape 6

Évaluez la limite de $15$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π^{3}}{2^{3}} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Étape 8.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{π^{3}}{8} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Étape 8.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π^{3}}{8} + 5 \frac{π^{2}}{2^{2}} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Étape 8.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{π^{3}}{8} + 5 \frac{π^{2}}{4} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Étape 8.5

Associez $5$ et $\frac{π^{2}}{4}$ .

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Étape 8.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} + 2 (- 1) \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Étape 8.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Étape 8.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 1 \cdot 15$

Étape 8.7

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 15$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 15$

Forme décimale :

$- 1.92880256 \dots$