Calcul infinitésimal Exemples

$e^{\frac{x + 1}{2}}$

Étape 1

Écrivez $e^{\frac{x + 1}{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int e^{\frac{x + 1}{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = \frac{x + 1}{2}$ . Alors $d u = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Laissez $u = \frac{x + 1}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez $\frac{x + 1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2}]$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x + 1}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 4.1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4.1.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

Étape 4.1.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int e^{u} \cdot 2 d u$

Étape 5.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{u}$ .

$\int 2 e^{u} d u$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int e^{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Étape 8

Simplifiez

$2 e^{u} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x + 1}{2}$ .

$2 e^{\frac{x + 1}{2}} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$