Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 1.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 1.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.10

Associez $12$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.12

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 1.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Étape 2.9

Associez $x^{- \frac{5}{3}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Étape 2.10

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

Étape 2.11

Associez $- 4$ et $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{- \frac{5}{3}}}{3}$

Étape 2.12.2

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.12.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.1.2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 4.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 4.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 4.1.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 4.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 4.1.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 4.1.10

Associez $12$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 4.1.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.12

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 4.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 = 0$

Étape 5.3

Comme $4 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.3.3.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{8}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{5}}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 0}$

Étape 9.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$- \frac{8}{0}$

Étape 9.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{8}{0}$

Étape 9.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.2.2

La réponse finale est $\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{4}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (2) = \frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.3.2.2

La réponse finale est $\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 11