Calcul infinitésimal Exemples

$- 5 + 3 y^{3} = 5 y^{2} + 3 y + x^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- 5 + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y^{2} + 3 y + x^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 + 3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.1.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$0 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 + 3 (3 y^{2} y')$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$0 + 9 y^{2} y'$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $9 y^{2} y'$ .

$9 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 y^{2} + 3 y + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 y y' + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$10 y y' + 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$10 y y' + 3 y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 y y' + 3 y' + 2 x$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$10 y y' + 2 x + 3 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$9 y^{2} y' = 10 y y' + 2 x + 3 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$10 y y' + 2 x + 3 y' = 9 y^{2} y'$

Étape 5.2

Soustrayez $9 y^{2} y'$ des deux côtés de l’équation.

$10 y y' + 2 x + 3 y' - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.3

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$10 y y' + 3 y' - 9 y^{2} y' = - 2 x$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $10 y y' + 3 y' - 9 y^{2} y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $10 y y'$ .

$y' (10 y) + 3 y' - 9 y^{2} y' = - 2 x$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y'$ .

$y' (10 y) + y' \cdot 3 - 9 y^{2} y' = - 2 x$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 9 y^{2} y'$ .

$y' (10 y) + y' \cdot 3 + y' (- 9 y^{2}) = - 2 x$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (10 y) + y' \cdot 3$ .

$y' (10 y + 3) + y' (- 9 y^{2}) = - 2 x$

Étape 5.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (10 y + 3) + y' (- 9 y^{2})$ .

$y' (10 y + 3 - 9 y^{2}) = - 2 x$

Étape 5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3) = - 2 x$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3) = - 2 x$ par $- 9 y^{2} + 10 y + 3$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3) = - 2 x$ par $- 9 y^{2} + 10 y + 3$ .

$\frac{y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3)}{- 9 y^{2} + 10 y + 3} = \frac{- 2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 9 y^{2} + 10 y + 3$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3)}{- 9 y^{2} + 10 y + 3} = \frac{- 2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Étape 5.6.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2}) + 10 y + 3}$

Étape 5.6.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $10 y$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2}) - (- 10 y) + 3}$

Étape 5.6.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 y^{2}) - (- 10 y)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2} - 10 y) + 3}$

Étape 5.6.3.5

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2} - 10 y) - 1 (- 3)}$

Étape 5.6.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 y^{2} - 10 y) - 1 (- 3)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2} - 10 y - 3)}$

Étape 5.6.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.3.7.1

Réécrivez $- (9 y^{2} - 10 y - 3)$ comme $- 1 (9 y^{2} - 10 y - 3)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- 1 (9 y^{2} - 10 y - 3)}$

Étape 5.6.3.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - - \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$

Étape 5.6.3.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' = 1 \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$

Étape 5.6.3.7.4

Multipliez $\frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$