Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{y}{3 y^{2} - x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y$ et $g (y) = 3 y^{2} - x$ .

$\frac{(3 y^{2} - x) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 y^{2} - x) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez $3 y^{2} - x$ par $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y^{2} - x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + 0)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Additionnez $6 y$ et $0$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y \cdot y}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y^{1})}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{1 + 1}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{2}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 7

Soustrayez $6 y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- (3 y^{2}) - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 8.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (3 y^{2}) - (x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2}) - (x)$ .

$\frac{- (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 8.4

Réécrivez $- (3 y^{2} + x)$ comme $- 1 (3 y^{2} + x)$ .

$\frac{- 1 (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Étape 8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 y^{2} + x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$